Alex van den Brandhof: Priemwoestijnen. Hoogtepunten uit de
wiskunde van de 21e eeuw.
Uitgave: Prometheus, mei 2018.
ISBN: 9789044636833
Alex van den Brandhof is leraar
wiskunde in een middelbare school in Bazel, Zwitserland. Hij is ook
wiskundecorrespondent bij de Nederlandse krant het NRC Handelsblad. Van hem
verscheen recent het boek Priemwoestijnen, een boek dat ideaal geschikt is voor
de wiskundig geïnteresseerde lezer die graag op de hoogte wil zijn van recente
doorbraken in de wiskunde. In zeventien hoofstukken, genummerd van 2001 tot
2017, belicht van den Brandhof 17 wiskundige problemen waar in het
overeenkomstige jaar iets belangrijks mee gebeurd is. En hij doet dat zonder
veel wiskunde, zodat je ook als niet-wiskundige plezier kan beleven aan het
boek.
De titel van het boek verwijst
naar een vermoeden dat geformuleerd werd in de vorige eeuw door de Hongaarse
wiskundige Paul Erdős. Erdős was een van de belangrijkste wiskundigen van de
twintigste eeuw. Hij had de gewoonte om een geldprijs te zetten op wiskundige
problemen waarvoor hij dacht een oplossing te hebben maar die niet kon
bewijzen. Een van de `duurste’ problemen, 10000 $ waard, is het probleem van de
priemwoestijnen. Van den Brandhof gebruikt het woord priemwoestijn voor
een rij opeenvolgende gehele getallen waar geen priemgetal tussen zit,
bijvoorbeeld de rij 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 is een priemloze rij getallen
van lengte 7, een priemwoestijn van lengte 7 dus. Dat er priemwoestijnen zijn
van een willekeurige lengte, dat is eenvoudig te bewijzen, want je kan die
construeren. Stellen we A gelijk aan 19! (het product van de getallen van 1
t.e.m. 19), dan is dit een priemwoestijn van lengte 19 (zie je waarom?):
A+2(=121645100408832002), A+3, A+4,…,A+19. Dit zijn allemaal erg grote getallen,
en deze rij is dan ook niet de kleinste priemwoestijn van lengte 19: die begint
namelijk bij 888. Het vermoeden van Erdős over priemwoestijnen heeft te maken
met een ondergrens voor de langste priemwoestijn kleiner dan een gegeven getal
x. Het werd bewezen in 2014 door de Australische wiskundige Terence Tao, samen
met 3 anderen, en onafhankelijk door de Brit James Maynard. Hier gaat dus
hoofdstuk 2014 van het boek over.
Andere problemen waarover je
leest zijn o.a. het vermoeden van Catalan (uit 1844) dat 8 en 9 de enige twee
machten van gehele getallen zijn die precies 1 van elkaar verschillen (het
vermoeden wordt een stelling in hoofdstuk 2002), en het Poincaré-vermoeden, een
van de millenniumproblemen (waarover van den Brandhof al eerder schreef, in zijn
boek De zeven grootste raadsels van de wiskunde, in 2012) en opgelost in
2003. Nogal wat hoofdstukken hebben met priemgetallen te maken. Maar evengoed
gaat het over wiskundige spellen, of beter gezegd: spelletjes zoals OXO die
wiskundig te analyseren zijn. En je vindt er ook een volledig bewijs, nl. een
erg kort en mooi bewijs voor een ongelijkheid die geldt in een driehoek.
Dit boek is zeker een aanrader!
Deze bespreking verscheen eerder in het tijdschrift Vector.